06 Mei 2009

Keberpasangan dalam Matematika

Ada suatu faktor yang harus dipahami lebih lanjut, berkenaan dengan kemunculannya dalam “fisika keberpasangan”, yaitu ketakberhinggaan. Bagi para matematikawan umumnya, faktor ∞ selalu didekatkan pada pengertian tak terdefinisi atau tak dapat dimengerti. Apakah anggapan tersebut betul-betul sahih?

Seorang cendikiawan Yunani, Pythagoras, meyakini bahwa jagat raya adalah kumpulan harmoni musik yang sangat indah. Melalui instrumen musik, beliau menemukan hubungan antara angka-angka dan musik. Angka adalah simbol-simbol yang menyusun syair-syair alam. Gerakan benda-benda, planet-planet, dan bintang-gemintang di ruang angkasa bersatu-padu menghasilkan simfoni keharmonisan semesta. Selanjutnya, beliau mengubah bilangan-bilangan dari alat musiknya menjadi sebuah prinsip kehidupan yang pokok. Beliau lalu menyebut filosofi tersebut dengan nama ‘matematika’, sebuah kosa kata yang sangat akrab bagi siapapun yang hidup di era modern ini.

Rumit

Orang kebanyakan mengira bahwa matematika itu sulit, rumit, dan ribet. Sulitnya karena bahasa yang digunakan bukan bahasa sehari-hari, rumitnya karena untuk berbicara dalam bahasa matematika harus menggunakan langkah-langkah metodik yang baku, sedangkan ribetnya karena terkadang metode-metode tersebut sangat tidak mentolelir kealpaan.

Matematika itu tidak seperti gambaran sebagian besar orang. Ia sama sekali tidak menakutkan. Yang penting ditekankan adalah ada sesuatu yang kurang dalam matematika. Semua orang telah mafhum bahwa alam semesta itu mencakup wilayah dari angka nol sampai tak berhingga. Fisika memiliki ruang dan waktu dari v=0 sampai dengan v=∞. Dalam sistem bilangan, angka dimulai dari 0 dan berakhir pada ∞. Namun sejauh ini angka ∞ diyakini tak memiliki hakikat karena tidak bisa dipahami.

Bagaimanakah asal-usul faktor ketakberhinggaan? Semua itu bermula dari Pythagoras. Banyak orang menganggap beliau adalah perpaduan antara Einstein dan Maharesi. Beliau berpandangan bahwa semua hal adalah susunan bilangan-bilangan yang sangat teratur. Beliau membagi sistem bilangan menjadi dua, yakni bilangan ganjil dan bilangan genap, yang masing-masing selalu berdiri sendiri. Akan tetapi, beliau lebih dikenal dengan Teorema Trigonometri tentang hubungan sisi-sisi pada segitiga siku-siku. Sayangnya, teorema ini justru satu-satunya penyebab rusaknya keharmonisan semesta matematika beliau sendiri.

Pythagoras telah menemukan bahwa jumlah akar dari kuadrat panjang sisi-sisi pada segitiga siku-siku sama dengan panjang sisi miringnya. Di era modern ini, orang-orang biasa menuliskannya dengan notasi: A=√B2+C2. Pythagoras memisalkan hubungan teoremanya dengan susunan ubin-ubin persegi pada lantai. Misalnya ada segitiga siku-siku yang memiliki panjang sisi B adalah 3 ubin dan panjang sisi C adalah 4 ubin, maka agar diperoleh sudut siku-siku, 5 ubin harus terpasang tepat pada sisi A.

Suatu hari seorang pengikut Pythagoras, bernama Hippasus, menemukan paradoks menjengkelkan yang menghancurkan kesimetrikan tersebut. Dalam sebuah pelayaran, dia iseng-iseng menyusun 1 ubin untuk sisi B dan 1 ubin lagi untuk sisi C. Namun setelah diusahakan dengan susah-payah, ternyata harus ada ubin-ubin yang dipotong-potong untuk mengisi penuh sisi A, agar sisi B dan sisi C menjadi siku-siku. Dengan memakai prosedur yang sama, Hippasus menemukan bilangan yang bersifat genap dan ganjil secara bersamaan, yaitu √12+12=√2. Semua orang di kapal itu tidak bisa menemukan nilai pasti dari √2. Mereka pun sepakat untuk menyembunyikan eksperimen ini, namun tetap saja bocor. Itulah awal dari mimpi buruk ketakberhinggaan.

Meskipun terkesan sepele, implikasi masalah √2 sangat luar biasa. Semua upaya untuk menyatakann √2 sebagai fraksi bilangan utuh telah gagal. √2 bersifat genap dan ganjil secara bersamaan. Sampai sekarang, kita menyebut bilangan seperti itu sebagai bilangan irrasional, bilangan yang tak masuk akal. Ia seharusnya bilangan, tapi ia tidak bisa dituliskan. Bilangan yang bersifat genap dan ganjil secara serentak adalah paradoks, yang kemudian menimbulkan paradoks yang lebih membingungkan, yaitu The Achilles.

Pada masa Yunani kuno, hidup seorang filusuf yang bernama Zeno. Ia mengusulkan paradoks abadi yang terkenal dengan sebutan The Achilles. Achille adalah pelari tercepat di zamannya. Dia berupaya menangkap seekor kura-kura. Akan tetapi, ketika ia mencapai posisi dimana kura-kura mulai bergerak, si kura-kura ternyata telah jauh melampauinya. Lalu ia pun bergegas mengejarnya kembali, tetapi ketika ia sampai di posisi kura-kura kembali, tiba-tiba ia telah ditinggalkannya kembali. Dan ketika Achille berupaya mengejarnya kembali, kasus serupa pun terjadi, terjadi, dan terjadi lagi terus-menerus sampai tak terhingga banyaknya. Sederhananya, yang bergerak cepat tidak akan pernah menyalip yang bergerak lambat, hanya saja jarak yang memisahkan mereka akan semakin berkurang dan berkurang, namun tidak akan pernah habis sama sekali. Ini seperti memasukkan segitiga-segitiga agar memenuhi suatu lingkaran. Tidak ada orang yang bisa dengan pasti menghitung seberapa banyak segitiga yang dibutuhkan untuk mengisi seluruh ruang lingkaran, atau sampai kapan Achille akan mendapatkan kura-kura tersebut.*

Bilangan

Bilangan adalah hal fundamental dalam matematika. Bilangan merupakan bahasa logika yang biasanya ditulis dengan angka-angka. Alam nyata memiliki materi yang cenderung diam pada titik normal v=0. Keadaan tersebut memungkinkan sistem bilangannya berpusat pada angka 0. Angka 0 disebut sebagai bilangan netral, artinya kalau ia ditambahkan bilangan tertentu maka akan menghasilkan bilangan positif dan jika dikurangkan dengan bilangan tertentu maka akan menghasilkan apa yang disebut bilangan negatif. Sistem inilah yang dipakai dalam matematika konvensional.

Matematika konvensional tidak bisa diterapkan dalam alam gaib. Bukankah sifat alam gaib selalu bertolak belakang dengan alam nyata? Selama ini, angka ∞ selalu dipandang dari sudut logika kita semata. Dalam logika mereka, yang kehidupannya cenderung bergerak infinit pada titik v=∞, tentu sistem bilangannya berpusat pada angka ∞. Angka ∞ adalah angka netral di alam gaib, seperti halnya dengan angka 0 di alam nyata. Apabila ∞ ditambah bilangan tertentu maka akan menghasilkan bilangan negatif, sedangkan apabila dikurangkan bilangan tertentu justru akan membuatnya menjadi bilangan positif.

Bilangan positif bersifat konkret, intervalnya ada diantara angka 0 sampai angka ∞. Ambil contoh: saya sekarang mempunyai 2 butir telur, sedangkan kemarin saya memecahkan semua telur milik teman sebangku saya yang jumlahnya ada 5 butir. Kalaupun semua telur yang saya miliki saat ini diserahkan kepadanya, maka saya masih harus mengganti 3 telur lagi. Nah, angka 3 ini masih bersifat abstrak, sehingga dikatakan bernilai negatif. Notasinya dapat dituliskan 2-5=-3. Kasus serupa terjadi kalau saya memiliki telur sangat banyak, bahkan tak terhingga, sampai-sampai memenuhi seluruh kolong langit. Tiba-tiba teman saya mau memberi 2 butir telur lagi. Karena semua telur yang ada di semesta ini telah saya miliki, maka 2 telur tadi masih abstrak, sehingga dikatakan ia bernilai negatif. Notasinya dapat dituliskan ∞+2=-2. Di sini matematika harus dipandang sebagai suatu sistem yang terbagi dalam dua sistem berbeda yang saling berpasangan, yakni sistem yang dibentuk angka netral 0 dan angka netral ∞.

Selama beberapa millenium ini manusia hanya cenderung pada suatu bagian logika saja dan mengabaikan bagian yang lain. Akibatnya, bagian logika yang dibangun angka netral 0 telah dikembangkan menjadi sistem canggih yang bisa membantu berbagai pekerjaan kuantitatif manusia, misalnya kalkulus, geometri, algoritma, dan probabilitas. Dan bagian lpgika yang dibangun angka netral ∞ bahkan baru disadari sekarang.


sumber : netsains.com

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar